Sens de variation

Définition   Sens de variation  d'une suite

Soit  $(u_n)$  une suite numérique définie sur  $\mathbb{N}$ .

• Dire que la suite  $(u_n)$  est croissante signifie que, pour tout entier naturel  $n$ ,  $u_{n+1}⩾u_n$ .
• Dire que la suite  $(u_n)$  est décroissante signifie que, pour tout entier naturel  $n$ ,  $u_{n+1}⩽u_n$ .
  
• Dire que la suite  $(u_n)$  est constante signifie que, pour tout entier naturel  $n$ ,  $u_{n+1}=u_n$ . 
  

On en déduit facilement la propriété ci-dessous.

Propriété   Sens de variation d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ .

• Si $r>0$ alors la suite $(u_n)$ est croissante.
  
• Si $r<0$ alors la suite $(u_n)$ est décroissante.
  
• Si $r=0$ alors la suite $(u_n)$ est constante.

 Exemple

Soit  $(u_n)$  la suite définie par $u_0=3,2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=u_n-2,5$ .

$(u_n)$  est une suite arithmétique de raison $-2,5$ .

$-2,5<0$  donc la suite  $(u_n)$  est décroissante.

Remarque   Lien avec la représentation graphique

Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique  $(u_n)$  de premier terme  $u_0$  et de raison  $r$  appartiennent à la droite  $(d)$ d'équation  $y=u_0+rx$  de coefficient directeur  $r$ .

Si  $r<0$ , la suite  $(u_n)$  est décroissante et la fonction affine  $x⟼u_0+rx$  représentée par la droite  $(d)$ est décroissante.

Si  $r>0$ , la suite  $(u_n)$  est croissante et la fonction affine  $x⟼u_0+rx$  représentée par la droite  $(d)$ est croissante.

Si  $r=0$ , la suite  $(u_n)$  est constante et la fonction affine  $x⟼u_0+rx$ représentée par la droite  $(d)$ est constante.